수학 공식
1. 황도 경사를 구하는 법
황도 경사 = 23° 27′ 8.26″ - 46.837″ T - 0.0085″ T² + 0.0017″ T³
여기서 T는 1900년부터의 시간을 세기로 계산한 값이며, 1900년보다 앞이면 음수, 뒤이면 양수이다.예. 1923년의 황도 경사를 구하라. 용어: 황도 경사
여기서 T는 양수이고 1보다 작으며, 23/100, 즉 0.23이다. 따라서 T²은 0.0529이고 T³은 0.012167이다.
- 46.837″ × (+ 0.23) = - 10.77251″
- 0.0085″ × (+ 0.0529) = - 0.00045″
+ 0.0017″ × (+ 0.012167) = + 0.00002″
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= - 10.77294″
그러므로,
23° 27′ 8.26″ - 10.77″ = 23° 26′ 57.49″
2. 세차 값을 구하는 법
세차 = 50.248″ + 0.000222″ t
여기서 t는 1900년부터의 시간을 연수로 계산한 값이며, 1900년보다 앞이면 음수, 뒤이면 양수이다.예. 1923년 1월 1일의 세차를 구하라.
여기서 t는 양수이고 23.0과 같다.
0.000222″ × (+ 23.0) = + 0.005″ 50.248″ + 0.005″ = 50.253″
3. 시간을 도수로 변환하는 법
시간의 시·분·초에 15를 곱한다. 그 결과가 이에 해당하는 공간의 도·분·초이다. 용어: 도수를 시간으로 환산 용어: 시간을 도수로 환산
또 다른 방법은 시·분·초를 분과 초로 환산하고, 분은 공간의 도로, 초는 시간의 분으로 간주한 뒤 4로 나누는 것이다.예. 폴룩스의 시간 단위 적경은 7h 40m 25.4s이다. 도수 단위 적경을 구하라. 용어: 적경을 황경으로 환산
7h 40m 25.4s를 초로 환산 = 27,625.4s 27,625.4 × 15 = 414,381.0″ = 115° 6′ 21.0″
다른 방법을 쓰면,
7h 40m 25.4s = 460m 25.4s 460° 25.4′ = 460° 25′ 24.0″ 460° 25′ 24.0″ ÷ 4 = 115° 6′ 21.0″
4. 도수를 시간으로 변환하는 법
공간의 도·분·초를 15로 나눈다. 그 결과가 이에 해당하는 시간의 시·분·초이다.
또 다른 방법은 공간의 도를 시간의 분으로, 공간의 분을 시간의 초로 간주하고 4를 곱하는 것이다. 단, 공간의 초는 먼저 분의 소수로 변환해야 한다.예. 런던에서 시리우스가 상승할 때의 R.A.M.C.는 32° 26′이다. 이에 해당하는 항성시를 구하라.
32° 26′ ÷ 15 = 2h 9m 44s
다른 방법을 쓰면,
32° 26′을 다음과 같이 간주한다. m s
32 26
4를 곱한다. 4
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129 44
= 2h 9m 44s
5. 적경과 적위로부터 황경과 황위를 구하는 법
제1부
♈ 또는 ♎로부터 측정한 적경의 log sine
(또는 ♋ 또는 ♑로부터 측정한 적경의 log cosine) + 적위의 log cotangent = 각 A의 log tangent
제2부
적경이 180°보다 작으면 N이라 하고, 180°보다 크면 S라 한다.
1. 적경과 적위의 명칭이 같을 때, 즉 둘 다 S이거나 둘 다 N일 때:
A + 황도 경사(23° 27′) = B
2. 적경과 적위의 명칭이 다를 때, 즉 하나는 N이고 다른 하나는 S일 때:
A와 황도 경사(23° 27′)의 차 = B
B가 90°를 넘으면 제3부에서는 그 초과분의 sine을, 제4부에서는 그 초과분의 cosine을 사용한다. 이때 황위의 명칭은 적위와 반대가 된다.
제3부: 황위
각 A의 log cosine(산술 보수) + B의 log cosine + 적위의 log sine = 황위의 log sine
제4부: 황경(주 참조)
각 A의 log sine(산술 보수) + B의 log sine + ♈ 또는 ♎로부터 측정한 적경의 log tangent (또는 ♋ 또는 ♑로부터 측정한 적경의 log cotangent) = ♈ 또는 ♎로부터 측정한 황경의 log tangent (또는 ♋ 또는 ♑로부터 측정한 황경의 log cotangent)
주.
1. 적경과 적위의 명칭이 같은 모든 경우, 그리고 적경과 적위의 명칭이 다르지만 A가 황도 경사보다 큰 경우에는 제4부에서 황경을 직접 얻는다.
2. 적경과 적위의 명칭이 다르고 A가 황도 경사보다 작은 경우에는, 제4부에서 얻은 도·분 단위의 수치 결과를 그곳에 제시된 방식 대신 다음과 같이 적용해야 한다.a. 적경을 ♈ 0° 또는 ♎ 0°에서 측정했다면, 각각 ♈ 0° 또는 ♎ 0°에서
그 결과를 뺀다.
b. 적경을 ♋ 0° 또는 ♑ 0°에서 측정했다면, 90°에서 그 결과를 빼고 남은 값을 각각 ♎ 0° 또는 ♈ 0°에 더한다.
로그의 산술 보수는 10.00000에서 그 로그를 빼서 얻은 수이다. 가장 빠른 방법은 왼쪽에서 오른쪽으로 계산하면서 로그의 각 숫자와 더해 9가 되는 수를 적되, 맨 오른쪽 마지막 숫자에는 더해 10이 되는 수를 적는 것이다. 따라서 9.73492의 산술 보수는 0.26508이다.
6. 별의 중천 항성시를 구하는 법
시간으로 나타낸 별의 적경이 그 별이 중천하는 항성시이다. 용어: 별의 중천
7. 별의 실제 상승 및 하강 항성시를 구하는 법
별의 적위가 그 장소의 여위도(co-latitude)를 넘으면 그 별은 상승할 수도 하강할 수도 없다. 어느 장소의 여위도는 90°에서 그 장소의 위도를 빼서 구한다. 따라서 런던의 위도가 51° 32′이므로 여위도는 다음과 같다. 용어: 여위도
90° - 51° 32′ = 38° 28′
N 또는 S 적위가 이보다 큰 별은 하강할 수 없거나(N 적위인 경우), 상승할 수 없다(S 적위인 경우).
다음 방법은 실제 상승과 하강을 구한다. 겉보기 또는 가시적 상승과 하강은 굴절 때문에, 그리고 여기서는 광행차 등을 반영하지 않은 별의 평균 위치를 다루기 때문에 약간 다를 것이다. 그러나 그 차이는 무시할 수 있을 만큼 매우 작다.
1.
별 적위의 log tangent + 장소 위도의 log tangent = 상승차의 log sine
2.
별의 적위가 N이면: 90° + 상승차 = H 별의 적위가 S이면: 90° - 상승차 = H
남위인 장소에서는 이 규칙을 반대로 한다.
3. 상승의 경우:
별의 적경 - H = 상승 시의 R.A.M.C.
하강의 경우:
별의 적경 + H = 하강 시의 R.A.M.C.
뺄셈을 가능하게 하려면 360°를 더할 수 있고, 합이 360°를 넘으면 360°를 뺄 수 있다.
이렇게 얻은 R.A.M.C.를 공식 4로 항성시로 변환한다. 그 결과인 항성시를 해당 장소의 하우스 표에서 찾아보면 어센던트를 차지하는 황도궁과 도수를 알 수 있다.예. 런던에서 시리우스가 실제로 상승하고 하강하는 항성시를 구하라.
런던의 위도 = 51° 32′ 시리우스의 적경 = 100° 24′ 시리우스의 적위 = S 16° 36′
1.
log tan 16° 36′ = 9.47438
log tan 51° 32′ = 10.09991
-------
log sine 22° 2′ = 9.57429
2.
H = 90° 0′ - 22° 2′ = 67° 58′
3.
상승 시 R.A.M.C. = 100° 24′ - 67° 58′ = 32° 26′
따라서 상승 항성시는 2h 9m 44s이다.
하강 시 R.A.M.C. = 100° 24′ + 67° 58′ = 168° 22′
따라서 하강 항성시는 11h 13m 28s이다.
이 항성시들을 런던의 하우스 표에서 찾아보면 시리우스는 ♌ 19°와 함께 상승하고 ♉ 25°와 함께 하강한다. 또한 하우스 표를 더 찾아보면 시리우스의 황경인 ♋ 13°가 상승할 때 시리우스의 실제 천체는 제3하우스에 있으며, 3시간이 넘도록 어센던트에 이르지 않는다는 사실을 알 수 있다.
8. 별의 실제 천체에 이루는 각을 계산하는 법
황위 때문에 별의 실제 천체에 이루는 각은 사각과 충을 제외하면 그 별의 황경에 이루는 각과 상당히 다른 곳에 놓인다. 이 위치들은 다음과 같이 구할 수 있다.
1. 충과 사각. 이 점들은 통상과 마찬가지로 별의 황경에서 180°와 90° 떨어진다.
2. 육합과 삼합.
별 황위의 log cosine(산술 보수) + 60°의 log cosine(9.69897) = 별의 황경에 더하여 시니스터(sinister) 육합을 얻고, 별의 황경에서 빼서 덱스터(dexter) 육합을 얻을 거리의 log cosine
이렇게 얻은 점들의 충 지점이 삼합이다.
3. 세미사각과 세스퀴쿼드레이트.
별 황위의 log cosine(산술 보수) + 45°의 log cosine(9.84949) = 별의 황경에 더하여 시니스터 세미사각을 얻고, 별의 황경에서 빼서 덱스터 세미사각을 얻을 거리의 log cosine
이렇게 얻은 점들의 충 지점이 세스퀴쿼드레이트이다.
4. 그 밖의 모든 각. 별 황위의 log cosine의 산술 보수를 각의 도수에 해당하는 log cosine에 더한다. 그 결과를 별의 황경에 더하고 별의 황경에서 빼서 각의 위치들을 얻는다. 각이 90°보다 크면 180°에서 그 값을 빼고 나머지를 사용한다. 이때 얻는 결과는 해당 각 위치의 충 지점이 된다.
예. 시리우스의 실제 천체에 이루는 각을 구하라.
시리우스의 황위 = S 39° 35′ 황경 = ♋ 12° 59′
1. 충은 ♑ 12° 59′에, 사각들은 ♈ 12° 59′와 ♎ 12° 59′에 놓인다.
2. 육합과 삼합:
log cosine 39° 35′(산술 보수) = 0.11312
log cosine 60° = 9.69897
-------
log cosine 49° 33′ = 9.81209
시리우스의 황경 ♋ 12° 59′
+ 49° 33′
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시니스터 육합 = ♍ 2° 32′
시리우스의 황경 ♋ 12° 59′
- 49° 33′
---------
덱스터 육합 = ♉ 23° 26′
따라서 삼합은 ♓ 2° 32′와 ♏ 23° 26′에 놓인다.
3. 세미사각과 세스퀴쿼드레이트:
log cosine 39° 35′(산술 보수) = 0.11312
log cosine 45° = 9.84949
-------
log cosine 23° 26′ = 9.96261
이 거리를 앞에서와 같이 시리우스의 황경에 적용하면 세미사각의 위치로 ♊ 19° 33′와 ♌ 6° 25′를 얻으며, 그 충 지점인 ♐ 19° 33′와 ♒ 6° 25′가 세스퀴쿼드레이트의 위치가 된다.
9. 황위를 사용하지 않고 적경을 황경으로 변환하는 법
| 황도 경사(23° 27′)의 log cosine+ ♈ 또는 ♎로부터 측정한 적경의 log cotangent (또는 ♋ 또는 ♑로부터 측정한 적경의 log tangent)= ♈ 또는 ♎로부터 측정한 황경의 log cotangent (또는 ♋ 또는 ♑로부터 측정한 황경의 log tangent) |
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| ♈ 0°의 적경 = 0°♋ 0°의 적경 = 90°♎ 0°의 적경 = 180°♑ 0°의 적경 = 270° |
예. 알골의 적경에 해당하는 황경을 구하라.
알골의 적경 = 45° 44′
log cos 23° 27′ = 9.96256
log cot 45° 44′ = 9.98888
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log cot 48° 12′ = 9.95144
따라서 이에 해당하는 황경은 ♉ 18° 21′이다.